فروشگاه اینترنتی جوبوک

رگرسیون چیست ، تعریف رگرسیون، مقاله رگرسیون در مدل‌های آماری، تحلیل رگرسیون یک فرایند آماری برای تخمین روابط بین متغیرها می‌باشد. این روش شامل تکنیک‌های زیادی برای مدل سازی و تحلیل متغیرهای خاص و منحصر بفرد است وقتی که تمرکز روی روابط بین متغیر وابسته و یک یا چند متغیر مستقل باشد. تحلیل رگرسیون خصوصاً کمک می‌کند در فهم اینکه چگونه مقدار متغیر وابسته با تغییر هرکدام از متغیرهای مستقل و با ثابت بودن دیگر متغیرهای مستقل تغییر می‌کند. بیشترین کاربرد تحلیل رگرسیون تخمین امید ریاضی شرطی متغیر وابسته از متغیرهای مستقل معین است که معادل مقدار متوسط متغیر وابسته است وقتی که متغیرهای مستقل ثابت هستند. کمترین کاربرد آن تمرکز روی چندک یا پارامتر مکانی توزیع شرطی متغیر وابسته از متغیر مستقل معین است. در همه موارد هدف تخمین یک تابع از متغیرهای مستقل است که تابع رگرسیون نامیده شده است. در تحلیل رگرسیون تعیین پراکندگی متغیر وابسته اطراف تابع رگرسیون مورد توجه است که می‌تواند توسط یک توزیع احتمال توضیح داده شود.

تحلیل رگرسیون به صورت گسترده برای پیش بینی استفاده شده است. تحلیل رگرسیون همچنین برای شناخت ارتباط میان متغیر مستقل و وابسته و شکل این روابط استفاده شده است. در شرایط خاصی این تحلیل برای استنتاج روابط عالی بین متغیرهای مستقل و وابسته می‌تواند استفاده شود. هرچند این می‌تواند موجب روابط اشتباه یا باطل شود بنابراین احتیاط قابل توصیه است.

تکنیک‌های زیادی برای انجام تحلیل رگرسیون توسعه داده شده است. روش‌های آشنا همچون رگرسیون خطی و حداقل مربعات که پارامتری هستند، درواقع در آن تابع رگرسیون تحت یک تعداد محدودی از پارامترهای ناشناخته از داده‌ها تخمین زده شده است. رگرسیون غیر پارامتری به روش‌هایی اشاره می‌کند که به توابع رگرسیون اجازه می‌دهد تا در یک مجموعه مشخص از توابع با احتمال پارامترهای نامحدود قرار گیرند.

تحلیل رگرسیونی یا تحلیل وایازشی^[۱] فن و تکنیکی آماری برای بررسی و مدل‌سازی ارتباط بین متغیرها است. رگرسیون تقریباً در هر زمینه‌ای از جمله مهندسی، فیزیک، اقتصاد،مدیریت، علوم زیستی، بیولوژی و علوم اجتماعی برای برآورد و پیش‌بینی مورد نیاز است.

تعریف لغوی

واژه رگرسیون(Regression) را از لحاظ لغوی در فرهنگ لغت به معنی پسروی، برگشت و بازگشت است. اما از دید آمار و ریاضیات به مفهوم بازگشت به یک مقدار متوسط یامیانگین به‌کارمی‌رود. بدین معنی که برخی پدیده‌ها به مرور زمان از نظر کمی به طرف یک مقدار متوسط میل می‌کنند.

تاریخچه

در سال ۱۸۷۷ فرانسیس گالتون (به انگلیسی: Francis Galton) در مقاله‌ای که دربارهٔ بازگشت به میانگین منتشر کرده‌بود. اظهار داشت که متوسط قد پسران دارای پدران قدبلند، کمتر از قد پدرانشان می‌باشد. به نحو مشابه متوسط قد پسران دارای پدران کوتاه‌قد نیز، بیشتر از قد پدرانشان گزارش شده‌است. به این ترتیب گالتون پدیده بازگشت به طرف میانگین را در داده‌هایش مورد تأکید قرارداد. برای گالتون رگرسیون مفهومی زیست‌شناختی داشت، اما کارهای او توسط کارل پیرسون (به انگلیسی: Karl Pearson) برای مفاهیم آماری توسعه داده‌شد. گرچه گالتون برای تأکید بر پدیده «بازگشت به سمت مقدار متوسط» از تحلیل رگرسیون استفاده کرد، اما به هر حال امروزه واژه تحلیل رگرسیون جهت اشاره به مطالعات مربوط به روابط بین متغیرها به کار برده‌می‌شود.

مدل‌های رگرسیون

مدل‌های رگرسیون شامل متغیرهای زیر است:

• پارامترهای ناشناخته، با {displaystyle eta } مشخص می‌شود و یک مقیاس یا بردار نمایش می‌دهد.
• متغیرهای مستقل {displaystyle X}
• متغیر وابسته {displaystyle Y}

در رمینه‌های مختلفی از کاربرد، اصطلاحات مختلفی به جای متغیرهای مستقل و وابسته استفاده شده است.

یک مدل رگرسیون Y را به یک تابع از X و {displaystyle eta } مرتبط می‌کند.

{displaystyle Yapprox f(X,eta )}

نشان تقریب معمولاً به عنوان {displaystyle E(Y|X)=f(X,eta )} معرفی شده است. برای انجام تحلیل رگرسیون، شکل تابع {displaystyle f} باید مشخص شده باشد. گاهی اوقات شکل این تابع بر اساس دانشی دربارهٔ روابط بین Y و X که بر روی داده تکیه ندارد.

فرض کنونی بردار پارامترهای ناشناخته {displaystyle eta } به طول k است. برای اجرای یک تحلیل رگرسیون کاربر باید اطلاعاتی در مورد متغیر وابسته Y فراهم کند:

• اگر N نقطه داده از (Y,X)مشاهده شده باشد وقتی N<k است دیدگاه‌های بسیار کلاسیک برای این تحلیل نمی‌تواند استفاده شود از آنجایی که سیستم معادلات تعریف شده برای مدل رگرسیون قابل تخمین نیست و داده کافی برای بازیابی {displaystyle eta } وجود ندارد.
• اگر تعداد نقاط N=k مشاهده شده است و تابع f خطی است، معادلات {displaystyle Y=f(X,eta )} دقیق حل شود. این تعداد محاسبات به یک مجموعه N معادلات با N پارامتر ناشناخته (همان عناصر {displaystyle eta })کاهش می‌دهد و یک راه حل یکتا دارد آنچنان که X متغیرهای مستقل خطی هستند. چندین راه حل شاید وجود داشته باشداگر f غیرخطی است.
• وضعیت بسیار مشترک N>k است. در این صورت اطلاعات کافی در داده‌ها برای تخمین مقدار یکتا برای {displaystyle eta } وجود دارد.

در مورد آخر، تحلیل رگرسیون ابزاری فراهم می‌کند:

1. یافتن یک راه حل برای پارمترهای ناشناخته {displaystyle eta }، برای نمونه فاصله بین مقادیر پیش بینی و اندازه‌گیری شده از متغیر مستقل Y حداقل کند (حداقل مربعات)
2. تحت فرض‌های آماری خاص، تحلیل رگرسیون اطلاعات زیادی برای تعیین اطلاعات آماری دربارهٔ پارامترهای ناشناخته {displaystyle eta } و مقادیر پیش بینی از متغیر تصادفی Y استفاده می‌کند.

رگرسیون کاذب

رگرسیون کاذب (به انگلیسی: regression) با فرض اینکه متغیرهای {displaystyle y_{t}} و {displaystyle x_{t}} مانا می‌باشند تخمین‌های ما از پارامترها و تست‌های {displaystyle T}و {displaystyle F}درست می‌باشد. برای نشان‌دادن سازگاری تخمین‌های حداقل مربعات معمولی، ما از این نتایج زمانی که اندازه نمونه افزایش می‌یابد و واریانس نمونه به واریانس جامعه همگرا می‌شود، استفاده می‌کنیم. متأسفانه وقتی سری نامانا باشد واریانس خوش تعریف نیست، زیرا حول یک میانگین ثابت نوسان نمی‌کند. برای توضیح بیشتر دو متغیر {displaystyle y_{t}} و {displaystyle x_{t}} را در نظر بگیرید که بوسیله یک فرایند گام تصادفی تعریف می‌شود.

1. {displaystyle y_{t}=y_{t-1}+epsilon _{1}t,quad t=1,dots ,N!}
2. {displaystyle x_{t}=x_{t-1}+epsilon _{2}t,quad t=1,dots ,N!}

که {displaystyle epsilon _{2}t} و {displaystyle epsilon _{1}t} دارای توزیع مستقل می‌باشد. هیچ دلیلی برای ارتباط بین {displaystyle y_{t}} و {displaystyle x_{t}} وجود ندارد. یک محقق اگراثر {displaystyle y_{t}} را روی {displaystyle x_{t}} و یک جزء ثابت رگرس کند و رگرسیون زیر را انجام دهد:

خط راست: {displaystyle y_{i}=eta _{0}+eta _{1}x_{t}+epsilon _{t},quad t=1,dots ,N!}

نتایج این رگرسیون ممکن است بوسیله r^۲ بالا و خود همبستگی بالا بین باقیمانده‌ها و هم‌جنین دارای ارزش معنی‌داری برای پارامتر {displaystyle beta_{1}} باشد. این پدیده به رگرسیون کاذب معروف است. در این گونه از موارد دو سری نامانا ارتباط کاذبی دارند به این علت که که هر دوی آنها در طول زمان تغییر می‌کنند و تابعی از زمانند. هماطور که گراجر و نی یو بلد بیان کردند در این حالت رگرسیون دارای r^۲ بالا؛ و آماره دوربین واتسون پایین خواهدبود و تست‌های {displaystyle T}و {displaystyle F} ممکن است خیلی گمراه‌کننده باشند. دلیل آن نیز این است که توزیع‌های آماره‌های تست‌های سنتی خیلی متفاوت از نتایجی که تحت فرض مانایی گرفته‌می‌شود، می‌باشد. بخصوص همان‌طور که فلیپس (۱۹۸۷)نشان داد؛ همان‌طور که اندازه نمونه افزایش می‌یابد نمی‌توان به معنی‌داری تخمین زن حداقل مربعات معمولی و آماره‌های تست‌های {displaystyle T}و {displaystyle F} و آماره دوربین واتسون اعتماد کرد. دلیل آن این است که {displaystyle y_{t}} و {displaystyle x_{t}} متغیرهای {displaystyle I(1)}می‌باشد و جزء خطا نیز یک متغیر نامانا{displaystyle I(1)} می‌باشد.

اگر ارزش‌های گذشته هر دو متغیر وابسته و مستقل را در رگرسیون وارد کنیم مشکل رگرسیون کاذب حل می‌شود. در این حالت تخمین‌های حداقل مربعات معمولی برای همه پارامترها سازگار می‌باشد.

شیوه‌ها

شیوه‌های مهم تحلیل‌های رگرسیونی به شرج زیر هستند.

• رگرسیون خطی ساده
• رگرسیون خطی چندگانه
• رگرسیون فازی
• رگرسیون لجستیک

این تنوع باعث شده‌است که بتوان به راحتی هر نوع داده‌ای (اغلب از نوع داده‌های پیوسته) را تحلیل کرد و به راحتی نتیجه‌گیری نمود.

محاسبه

برای انجام یک تحلیل رگرسیونی ابتدا تحلیل‌گر حدس می‌زند که بین دو متغیر، نوعی ارتباط وجود دارد، در حقیقت حدس می‌زند که یک رابطه به شکل یک خط بین دو متغیر وجود دارد و سپس به جمع‌آوری اطلاعات کمی از دو متغیر می‌پردازد و این داده‌ها را به صورت نقاطی در یک نمودار دو بعدی رسم می‌کند.

نرم‌افزارها

نرم‌افزارهای بسیاری هستند که قابلیت محاسبه رگرسیون را دارند و مشهورترین آنها عبارتند از:

• نرم‌افزار اکسل (که ساده‌ترین نرم‌افزار است)
• اس‌پی‌اس‌اس SPSS
• اس‌پلاس +S یا Plus-S
• ساس (نرم‌افزار) SAS
• آر R